There exists x such that P(x,y) for any y in Y. For all x in X, there exists y such that P(x,y). There exists x in X such that P(x,y) for some y in Y. For all x in X, P(x,y) for all y in Y.

Soundness In mathematical logic, a logical system has the soundness property if and only if its inference rules prove only formulas that are valid with respect to its semantics. In most cases, this comes down to its rules having the proper…

定理1.4.6 は論理式の形だけを見れば論理値を考えなくても適用できるようになっている。この節では、意味を考えなくても、決められた式の変形だけで正しい命題を作成できるような規則を与える。記号列の集合を形式的な規則で定義したものを形式的体系（formal…

上記の条件を満たす「Γ|=φ」の形の「行」を証明（Proof）と呼ぶ。とくに、一番最後に書いてある式が証明された式である。 条件：どの「行」もそれがすぐに正しいことがわかるか、それ以前に現れる「行」をいくつか見ればすぐに正しいことがわかる。さらに注…

恒真命題 （Tautology） 論理式φがφに現れる命題変数の任意の解釈で真になるとき“|= φ”と書き，φを恒真命題と呼ぶ． 意味論的帰結（） 論理的推論は「→」に着目すると見やすくなるので，次のような定義をする．論理式Γ，φに大使，「Γ→φ」が恒真命題のとき「Γ…

充足関係を、構造と閉論理式の集合との関係について拡張できる。T が 言語 L の閉論理式の集合で、M が L-構造のとき、M |= T とは、T に属する任意の閉論理式 p に対し、M |= p となることである。このとき、M を T のモデルと呼ぶ。また、閉論理式の集合を…

言語 L の任意の閉じた論理式の集合を「理論」と呼ぶ。